Libros de matemáticas de Carlos Ivorra.

Libros realizados por Carlos Ivorra, profesor de la Universidad de Valencia. Departamento de Matemáticas para la Economía y la Empresa

Tengo clase de matemáticas los martes y el jueves de las once y veinticinco hasta las uno. La clase de matemáticas es divertida.

MUY IMPORTANTE LEER LAS INDICACIONES PRELIMINARES DE SU WEB


  • Lógica matemática (10-12-18 cambio de posición de la regla de contradicción, en el capítulo II, que estaba probada con reglas posteriores). Segunda edición revisada y expandida del libro Lógica y teoría de conjuntos. Su contenido se corresponde con las dos primeras partes de la primera edición. Entre las principales novedades incluye una demostración completa del segundo teorema de incompletitud de Gödel (cuya prueba sólo estaba esbozada en la versión anterior) y un estudio más detallado de la aritmética de Peano y algunas de sus subteorías. Además de las teorías de conjuntos de Zermelo-Fraenkel y von Neumann-Bernays-Gödel se estudian otras, como la teoría de Kripke-Platek. Otra novedad es un apéndice en el que se expone el cálculo secuencial de Gentzen, con la ayuda del cual se prueba, por ejemplo, que la aritmética de Peano es reflexiva, es decir, que demuestra la consistencia de todas sus subteorías finitamente axiomatizables. Mantengo en esta página web la primera edición porque es algo más elemental y tal vez para algunos sea más fácil de seguir, pero ya no se realizarán más actualizaciones de esta versión antigua.
  • Teoría de conjuntosTopología  : Tercera edición del libro de Teoría de Conjuntos, en la que ha añadido algún material adicional y ha eliminado los capítulos sobre topología, que ahora forman parte de un segundo libro interconectado con él.
El libro de Teoría de conjuntos contiene los resultados básicos de la teoría de conjuntos: axiomática, teoría de ordinales y cardinales, principios combinatorios, álgebras de Boole, algunas aplicaciones a la topología y una introducción a la teoría de modelos.
El libro de Topología consta de dos partes. En la primera se exponen los resultados básicos de la topología general sobre espacios topológicos y uniformes, y en la segunda se aplican a espacios con estructuras adicionales: espacios métricos y normados, grupos y espacios vectoriales topológicos y espacios ordenados. Un apéndice reune más de 60 ejemplos de espacios topológicos que ilustran la teoría.
El libro de Pruebas de consistencia contiene los resultados básicos sobre pruebas de consistencia en teoría de conjuntos: modelos transitivos, constructibilidad, extensiones genéricas y numerosas aplicaciones.

El libro de Cardinales grandes contiene los resultados fundamentales sobre los cardinales grandes más importantes en orden creciente en cuanto a su consistencia, desde los cardinales débilmente compactos hasta los axiomas I. Se incluyen algunas aplicaciones a las pruebas de consistencia, como la consistencia de la negación de la hipótesis de los cardinales singulares.

El libro de Teoría descriptiva de conjuntos contiene los resultados básicos sobre los conjuntos de Borel y proyectivos en espacios polacos en ZF más el principio de elecciones dependientes, tanto de la teoría clásica como de la teoría efectiva (en términos de la teoría de la recursión). A continuación se prueban resultados de consistencia adicionales, principalmente los que se deducen del axioma de constructibilidad y del axioma de determinación, incluyendo la prueba de la consistencia de este axioma relativa a la existencia de ciertos cardinales grandes.

  • Teorías de conjuntos : En este libro se presentan y comparan diversas teorías axiomáticas de conjuntos. La mayor parte de ellas son teorías más débiles que ZFC (esencialmente, la teoría de Kaye Forster, la teoría de Mac Lane, la teoría de Kripke-Platek y la teoría de Mostowski, junto con algunos axiomas adicionales), mientras que los últimos capítulos están dedicados a la versión de los Nuevos Fundamentos de Quine propuesta por Jensen (NFA), que es una teoría de conjuntos en la que existe el conjunto de todos los conjuntos.
  • El Álgebra y la Geometría Elemental : Se presentan las teorías axiomáticas que formalizan el álgebra elemental (la teoría algebraica de los números reales y complejos) y la geometría euclídea elemental (la axiomática de Tarski) y se demuestra constructivamente que ambas teorías son consistentes, completas y decidibles.
  • Análisis no estándar : Un curso típico (en cuanto a su contenido) de análisis matemático: cálculo diferencial e integral de una y varias variables, pero desarrollado en el contexto del análisis no estándar, es decir, utilizando números reales infinitesimales. En los apéndices A y B se exponen dos teorías axiomáticas que fundamentan rigurosamente el uso de infinitésimos, la teoría de Nelson y la de Hrbacek, respectivamente, y en el apéndice C se demuestra el teorema de extensión para ambas teorías, en virtud del cual, todo resultado “estándar” (es decir, todo resultado en el que no se haga referencia a infinitésimos ni conceptos relacionados) que pueda probarse en las teorías citadas, puede demostrarse también en ZFC.
  • Álgebra,  Geometría,  Análisis matemático : Versiones revisadas y aumentadas de los libros anteriores con los mismos títulos. Una diferencia importante es que, mientras los libros originales de Álgebra, Geometría y Análisis estaban organizados para ser leídos sucesivamente, las versiones nuevas de Álgebra, Geometría y el primer volumen de Análisis están organizadas para ser leídas simultáneamente, como tres asignaturas que se cursen a la vez. Esto permite un desarrollo más natural de las tres materias y enfatiza las numerosas interdependencias que existen entre ellas. El primer capítulo del libro de Álgebra, junto con sus dos apéndices, presenta sin tecnicismos la teoría de conjuntos de Zermelo, que basta para fundamentar el resto de contenidos de los tres libros.
El libro de Álgebra contiene los conceptos y resultados necesarios para un doble propósito: la fundamentación algebraica de la geometría analítica y la demostración de que los anillos de enteros algebraicos de los cuerpos numéricos son dominios de Dedekind, junto con aplicaciones diversas que ilustren el interés y la utilidad de tales conceptos y resultados.

El libro de Geometría empieza con una introducción axiomática de la geometría euclídea, para pasar a continuación a la geometría analítica, la geometría proyectiva y terminar con una introducción a las geometrías no euclídeas. Uno de los propósitos principales de este libro es analizar rigurosamente los conceptos geométricos que subyacen en la matemática moderna pero que, a menudo, se dan por sabidos o, más aún, se eluden a través de definiciones oportunas (por ejemplo, al definir el seno como una serie de potencias en lugar del clásico “cateto opuesto partido por la hipotenusa”, o al convertir el teorema de Pitágoras en una definición).

El libro de Análisis comienza con una construcción de los números reales, seguido de otros dos capítulos que contienen todos los resultados topológicos que serán necesarios después. A continuación viene un bloque de cálculo diferencial de una y varias variables (incluyendo una introducción a la geometría diferencial) y finalmente un bloque de cálculo integral hasta la integración en variedades.

El libro de Geometría diferencial extiende el cálculo diferencial e integral desarrollados en el libro de Análisis matemático al contexto de las variedades diferenciales abstractas, al tiempo que se demuestra cómo esta teoría abstracta generaliza a la teoría clásica de subvariedades regulares de Rn expuesta también en dicho libro. Como aplicación se presenta el cálculo vectorial clásico y algunas de sus aplicaciones a la física. Además se presentan los resultados fundamentales sobre variedades de Riemann (aunque los resultados se demuestran siempre que es posible en el contexto más general de las variedades semirriemannianas) y se llega al estudio y clasificación de las variedades de curvatura constante, mostrando que la geometría de dichas variedades no es sino la geometría euclídea, elíptica e hiperbólica estudiada en el libro de Geometría, según que la curvatura sea nula, positiva o negativa. Los dos últimos capítulos contienen una introducción a la topología diferencial que culmina con la clasificación de las superficies diferenciales compactas.

El libro de Topología algebraica es una versión extendida del libro anterior con el mismo título. En él se presentan los resultados básicos y numerosas aplicaciones del concepto de grupo fundamental de un espacio topológico y de diversas teorías de homología y cohomología. Está dividido en tres partes, una con los contenidos puramente topológicos, otra con los resultados algebraicos necesarios y una tercera con la topología algebraica propiamente dicha. En la parte algebraica he incluido la teoría de funtores derivados y los resultados básicos sobre haces que permiten, en el último capítulo, comparar las distintas cohomologías definidas sobre un mismo espacio vectorial.

El libro de Funciones de variable compleja presenta los resultados más importantes sobre las funciones holomorfas de una variable y los resultados más elementales sobre funciones holomorfas de varias variables. Se trata de una versión ampliada del libro anterior con el mismo título, aunque los resultados sobre teoría analítica de números han sido suprimidos para formar parte de un nuevo libro específico sobre la materia.

El libro de Análisis avanzado está de momento inacabado, y contiene algunos resultados que originariamente formaban parte de la primera versión del libro de Análisis matemático y que no han tenido cabida ni la nueva versión ni en el libro de Geometría diferencial. El primer capítulo está dedicado a las funciones analíticas, se apoya en el primer capítulo del libro de Funciones de variable compleja y a su vez sirve de base al segundo capítulo de éste. El resto está dedicado a la teoría de funciones harmónicas y el análisis de Fourier con aplicaciones a la física.

El libro de Teoría algebraica de números es una nueva versión del libro de Teoría de números, y contiene los resultados fundamentales sobre los anillos de enteros algebraicos, incluyendo la teoría de Gauss sobre formas cuadráticas binarias y los trabajos de Kummer sobre el Último teorema de Fermat.

El libro de Teoría analítica de números contiene algunos resultados que figuraban en las versiones anteriores de los libros de Funciones de variable compleja y de Teoría de números, junto con muchos otros contenidos adicionales sobre la función dseta de Riemann y la distribución de los números primos. El último capítulo presenta las propiedades básicas de varias familias de números compuestos: altamente divisibles, superabundantes, etc.

  • Teoría de cuerpos de clases : Este libro es una continuación natural del libro de Teoría de números, donde se expone la teoría global de cuerpos de clases para cuerpos numéricos y la teoría local para sus compleciones. La exposición sigue un enfoque clásico, pero en los últimos temas aparece también una exposición alternativa en términos de cohomología de grupos.
  • Geometría algebraica : Introducción a la geometría algebraica desde un punto de vista clásico (es decir, sin hablar de haces o esquemas). Tras introducir los conceptos básicos de la geometría algebraica (variedades afines y proyectivas, puntos regulares, topología de Zariski, espacios tangentes, dimensión, etc.) se estudian las variedades complejas demostrando que las variedades complejas regulares son variedades diferenciales complejas compactas. A partir de aquí el libro se centra en las curvas proyectivas regulares (que en el caso complejo son superficies de Riemann) y estudia sus cuerpos de funciones regulares con las técnicas de la teoría algebraica de números (divisores primos), pues son cuerpos de funciones algebraicas. Con estas técnicas encontramos un estudio sobre la intersección de curvas proyectivas planas (teorema de Bezout) y una demostración del teorema de Riemann-Roch, que proporciona, entre otras cosas, una caracterización algebraica del género topológico de una curva. Tras un capítulo de aplicaciones del teorema de Riemann-Roch, se dedica un capítulo al teorema de Abel-Jacobi y otro a una introducción a la teoría de curvas elípticas. En un apéndice extiende el concepto de divisor a variedades de dimensión mayor que uno, si bien demuestra únicamente lo imprescindible para probar un teorema sobre isogenias necesario para el libro de curvas elípticas.
  • Curvas elípticas : Contiene la teoría básica sobre curvas elípticas, hasta el teorema de Mordell-Weil, y algunos resultados sobre funciones modulares. El último capítulo contiene los resultados básicos sobre multiplicación compleja. En el primer capítulo demuestra los resultados fundamentales sobre variedades algebraicas definidas sobre cuerpos no necesariamente algebraicamente cerrados, e incluye en un apéndice la prueba de la hipótesis de Riemann para cuerpos finitos.
  • Álgebra homológica y álgebra conmutativa : Contiene los preliminares de álgebra homológica y álgebra conmutativa para el libro siguiente.

La parte de álgebra homológica contiene esencialmente la teoría de funtores derivados desarrollada sobre categorías de módulos sobre un espacio anillado. Aunque no formaba parte del propósito inicial del libro, Carlos Ivorra ha aprovechado para incluir aplicaciones a la topología algebraica y la geometría diferencial. Concretamente, demuestra que la cohomología singular, la cohomología singular diferenciable, la cohomología de Alexander-Spanier y la cohomología de De Rham coinciden todas con la cohomología abstracta definida a partir de la teoría de funtores derivados. Como aplicación da una prueba elegante del teorema de De Rham, incluyendo el hecho de que el isomorfismo de De Rham es un isomorfismo de álgebras (hecho que no está demostrado en el libro de Topología Algebraica).

La parte de álgebra conmutativa consta de tres capítulos: el primero (Capítulo III) trata sobre el espectro de un anillo y la dimensión de Krull, el segundo (Capítulo IV) sobre anillos locales, en el que demuestra, entre otras cosas, el teorema de la dimensión, y el tercero (Capítulo V) sobre regularidad.

  • Representaciones de grupos finitos : Este libro ha surgido como ampliación de lo que originalmente era un capítulo de preliminares en el libro de Superficies aritméticas. Tras un capítulo de introducción y resultados preliminares, en el capítulo II se exponen los resultados básicos de la teoría de representaciones ordinarias sobre el cuerpo de los números complejos, que después se generaliza en el capítulo III a cuerpos arbitrarios, y el capítulo IV es una introducción a la teoría de representaciones modulares, es decir, a los resultados específicos para cuerpos cuya característica divide al orden del grupo. En el apéndice A se estudian las representaciones de Artin y Swan, que son lo que se requiere en el libro de superficies aritméticas para definir el conductor de una curva elíptica. El apéndice B es un ejemplo ilustrativo, en el que se calculan los caracteres ordinarios y modulares del grupo alternado A5.
  • Esquemas : Introducción a la geometría algebraica moderna (teoría de esquemas). Contiene todos los resultados necesarios para demostrar el teorema de Weil que afirma que las variedades abelianas son proyectivas, aunque sólo se expone (en el último capítulo) lo mínimo sobre variedades abelianas indispensable para tal fin.
  • Superficies aritméticas : Este libro consta de tres partes: en la segunda construye el modelo regular minimal y el modelo de Néron de una curva elíptica, para lo cual se usa un teorema de Lipman sobre desingularización de superficies excelentes que enuncio sin demostración. La primera parte contiene la teoría básica sobre los anillos excelentes necesaria para enunciar el teorema de Lipman y para deducir a partir de él los resultados específicos sobre desingularización de superficies aritméticas necesarios para demostrar la existencia del modelo regular minimal. La tercera parte contiene aplicaciones a la teoría de curvas elípticas, fundamentalmente la definición del conductor de una curva elíptica y la demostración de sus propiedades básicas.
  • Poliedros  Esto es un documento Mathematica (todavía en construcción) en el que presenta con figuras interactivas algunos resultados sobre poliedros tridimensionales, incluyendo la clasificación de los poliedros regulares (no necesariamente convexos), los deltaedros (poliedros convexos cuyas caras son triángulos equiláteros) y los poliedros uniformes. Cada uno de ellos se estudia con cierto detalle, al igual que los duales de los poliedros uniformes. Mathematica es un programa de pago, pero no es necesario disponer de él para ver el documento, sino que basta instalarse el CDF Player, que es gratuito y puede descargarse aquí. 

6 comentarios sobre “Libros de matemáticas de Carlos Ivorra.

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