¿Qué es la matemática? El teorema de Gödel y sus alrededores

What is Mathematics: Gödel's Theorem and Around

Karlis Podnieks. What is Mathematics: Gödel’s Theorem and Around. OpenLibra. 2013. 238 p.

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Karlis Podnieks define las teorías matemáticas como sistemas estables y ¿autónomos? de razonamiento, y las teorías formales como modelos matemáticos de tales sistemas. Trabajando con modelos estables y autónomos, los matemáticos han desarrollado su habilidad para sacar el máximo de conclusiones a partir de un mínimo de premisas. Por eso la modelación matemática es tan eficiente.

Para el autor del libro, los resultados de Goedel son la evidencia crucial de que los sistemas de razonamiento estables y autocontenidos no pueden ser perfectos (sólo porque son estables y autocontenidos). Tales sistemas no son universales (es decir, no pueden expresar la noción de números naturales: 0, 1, 2, 3, 4, …), o son universales, pero entonces corren inevitablemente hacia las contradicciones o hacia problemas insolubles.

Para los humanos, el pensamiento platónico es la mejor manera de trabajar con estructuras imaginadas. (Otra versión de esta tesis fue propuesta en 1991 por Keith Devlin en la p. 67 de su obra Logic and Information). Así, una posición filosófica correcta de un matemático debería ser: a) Platonismo – en días laborables – cuando estoy haciendo matemáticas (de lo contrario, mi «hacer» será ineficiente), b) Formalismo – en fines de semana – cuando estoy pensando «acerca» de las matemáticas (de lo contrario, terminaré en el misticismo).


En lógica matemática, los teoremas de la incompletitud de Gödel son dos célebres teoremas demostrados por Kurt Gödel en 1930. Simplificando, el primer teorema afirma:

En cualquier formalización consistente de las matemáticas que sea lo bastante fuerte para definir el concepto de números naturales, se puede construir una afirmación que ni se puede demostrar ni se puede refutar dentro de ese sistema.

Este teorema es uno de los más famosos fuera de las matemáticas, y uno de los peor comprendidos. Es un teorema en lógica formal y, como tal, fácil de malinterpretar. Hay multitud de afirmaciones que parecen similares, pero que en realidad no son ciertas.

El segundo teorema de la incompletud de Gödel, que se demuestra formalizando parte de la prueba del primer teorema dentro del propio sistema, afirma:

Ningún sistema consistente se puede usar para demostrarse a sí mismo.

Este resultado fue devastador para la aproximación filosófica a las matemáticas conocida como el programa de formalización Hilbert. David Hilbert propuso que la consistencia de los sistemas más complejos, tales como el análisis real, se podía probar en términos de sistemas más sencillos. Finalmente, la consistencia de todas las matemáticas se podría reducir a la aritmética básica. El segundo teorema de la incompletud de Gödel demuestra que la aritmética básica no se puede usar para demostrar su propia consistencia, y por lo tanto tampoco puede demostrar la consistencia de nada más fuerte. [+INFO]

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