Iteración de polinomios y funciones racionales.

Poirier Schmitz, Alfredo. Iteración de polinomios y funciones racionales. Pontificia Universidad Católica del Perú. Fondo Editorial, 2016. ISBN 9786123171544.

TEXTO COMPLETO

Texto introductorio sobre la iteración de funciones racionales, ideas geométricas, y el lenguaje de los sistemas dinámicos

  1. Prerrequisitos mínimos del análisis complejo
  2. Funciones propias y espacios de recubrimiento: Un curso relámpago en espacios de recubrimiento
  3. Familias normales : Una prueba del teorema de Montel
  4. Preliminares de sistemas dinámicos: El cambio de variables como herramienta de los sistemas dinámicos
  5. Conceptos básicos de dinámica polinomial
  6. Iteración de funciones racionales
  7. Puntos periódicos
  8. El método de Newton
  9. Una primera ojeada al conjunto de Julia
  10. Discos de Siegel y puntos de Cremer
  11. Orbitas atractoras
  12. Cuencas parabólicas
  13. Densidad de puntos periódicos en el conjunto de Julia
  14. Productos de Blaschke
  15. Componentes periódicas simplemente conexas
  16. Componentes críticas periódicas
  17. La estructura del conjunto de Fatou
  18. El conjunto de Mandelbrot

La Galaxia Musical : el Teorema de Thales

Bienvenido a La Galaxia Musical. 

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Teorema de Thales Les Luthiers - Matemáticas en tu mundo
Hace unos días, el cómico Marcos Mundstock, miembro de Les Luthiers, falleció a los 77 años en Buenos Aires. Mundstock era el narrador de muchos de los sketches del grupo y uno de sus miembros más reconocibles. Este es nuestro homenaje “científico”. 

Esto es lo que dice el propio autor sobre la historia de esta obra: “Tenía 19 años y cursaba mi segundo año de Facultad, cuando una vez, frente a un intrincado enunciado de Análisis Matemático (esos descubiertos por sabios enemigos), pensé que lo recordaría con más facilidad si le acoplaba una melodía cantable. Así lo hice… ¡y resultó! Claro que aquella sólo fue una pequeña trampita mnemotécnica. Pensé entonces si no podía ponerle música a todo un problema matemático. A todo un teorema, digamos. Entonces fui a la biblioteca, desempolvé el Repetto, Linskens y Fesquet, ubiqué el Teorema de Thales, y le puse música. Al día siguiente les canté mi teorema a un grupito de locos lindos del coro de Ingeniería. Me lo festejaron. Así entré en Les Luthiers”. [VIDEO]

 “Johann Sebastian Mastropiero dedicó su divertimento matemático, op. 48, el “Teorema de Thales”, a la condesa Shortshot, con quien viviera un apasionado romance varias veces, en una carta en la que le dice: “Condesa, nuestro amor se rige por el Teorema de Thales: cuando estamos horizontales y paralelos, las transversales de la pasión nos atraviesan y nuestros segmentos correspondientes resultan maravillosamente proporcionales”. 

Tales de Mileto (siglo VI a. C.) : considerado como uno de los siete sabios de Grecia, destacó en las áreas del comercio, filosofía, astronomía y matemáticas. Sus reflexiones trataban sobre la naturaleza y el origen del mundo físico, preguntas como ¿De dónde venían todas las cosas? ¿De qué estaban hechas? ¿Existía algo que pudiera reducir a unidad el variado espectáculo del cosmos?, representaban el esfuerzo por ir más allá de las apariencias hasta descubrir la verdadera naturaleza de las cosas y su primer origen; lo que los griegos le llamaron el arjé. Siempre trataba de que sus respuestas se apoyaran en la razón y fundamentarlas.

Existen dos teoremas relacionados con la geometría clásica que reciben el nombre de teorema de Tales

PRIMER TEOREMA DE TALES : Si dos rectas cualesquiera se cortan por varias rectas paralelas, los segmentos determinados en una de las rectas son proporcionales a los segmentos correspondientes en la otra.

\displaystyle \frac{AB}{A'B'}= \frac{BC}{B'C'}= \frac{AC}{A'C'}

Teorema de Tales de Mileto | Superprof

 

SEGUNDO TEOREMA DE TALES: Dado un triángulo ABC, si se traza un segmento paralelo, B'C', a uno de los lados del triangulo, se obtiene otro triángulo AB'C', cuyos lados son proporcionales a los del triángulo ABC.

\displaystyle \frac{AB}{AB'}= \frac{AC}{AC'}= \frac{BC}{BC'}Teorema de Tales de Mileto | Superprof

LA HISTORIA DETRAS DEL TEOREMA

Se dice que cuando Thales viajó a Egipto, para aprender matemáticas, inventó un procedimiento para calcular la altura de las pirámide Keops por semejanza, midiendo la sombra de esta y la de su bastón. La proporcionalidad entre la altura de la pirámide y la del bastón, hacían posible calcular la altura deseada. Para hacer este cálculo, supuso que los rayos del sol incidían paralelamente en la tierra, entonces la sombra que generaba la pirámide y su altura  forman un triángulo rectángulo, y la sombra del bastón con su altura otro. Estos dos triángulos rectángulos son semejantes, por lo tanto pudo establecer la siguiente proporción para obtener la altura.

La Pirámide de Keops y el Teorema de Tales – MatematicasCercanas

La sombra es la región donde no dan los rayos del sol. Se supone que los rayos que inciden en la pirámide y en el bastón son paralelos (consecuencia de la gran distancia que separa al Sol de la Tierra) y el bastón está clavado perpendicularmente al suelo.

De esta forma, los ángulos de los dos triángulos que observamos en la figura son iguales entre sí y, por tanto, dichos triángulos son semejantes. En dos triángulos semejantes, se cumple que sus lados homólogos son proporcionales.

El método que utilizó Tales de Mileto, el Teorema de Tales, tiene una enorme utilidad puesto que, entre otras muchas cosas, lo podemos emplear para averiguar la altura de cualquier objeto que sea grande sin necesidad de medirlo directamente.


Fuente: matematicascercanas.com

 

Teorema de empaquetamiento de circunferencias

DOAB: Directory of Open Access Books

Nachmias, Asaf. Planar Maps, Random Walks and Circle Packing. Springer, 2010. DOI: 10.1007/978-3-030-27968-4

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El Teorema de empaquetamiento de circunferencias (conocido también como el Teorema Koebe–Andreev–Thurston) describe en el plano las posibles relaciones de tangencia entre círculos cuyos interiores son disjuntos (es decir, sin otras circunferencias en su interior).

Teorema de empaquetamiento de circunferencias - Wikipedia, la enciclopedia libre

Un empaquetamiento de circunferencias es una colección conectada de circunferencias (en general, sobre cualquier superficie de Riemann) cuyos interiores son disjuntos. El grafo de intersección (denominado a veces como grafo de tangencia o grafo de contacto) de un empaquetamiento de circunferencias es un grafo que tiene una circunferencia en cada vértice, y el lado de cada par de vértices indica cuales son tangentes. Si el empaquetamiento de circunferencias se realiza sobre el plano, o, equivalentemente, sobre una esfera, entonces su grafo de intersección se denomina ‘grafo de monedas’. Los grafos de monedas siempre están conectados, son simples, y planos.1​

El teorema de empaquetamiento de circunferencias establece que, el contrario de esta afirmación, es también verdad: Para cada grafo conectado y plano G hay un empaquetamiento de círcunferencias en el plano cuya grafo de intersección es (isomórfico a) G. El teorema fue formulado por el matemático Paul Koebe en el año 1936.2​

Las matemáticas que todo lo impregnan.

Las matemáticas es una de las obras cumbre de los seres humanos.

En la penúltima semana de enero 2020 celebró en Salamanca la 5ª reunión anual de la Red de Geometría Algebraica y Singularidades, quizás el área más abstracta de las matemáticas de la que han surgido una gran cantidad de aportaciones prácticas. Este año incluía una jornada muy especial en memoria del que fue profesor en nuestra Universidad de Salamanca José María Muñoz Porras. Este insigne profesor era uno de los geómetras algebraicos más considerados e influyentes de nuestro país. Murió el último día de 2018 con 62 años.

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La reunión ha contado con una pléyade de destacados matemáticos. En este programa de EUREKA, que puedes escuchar AQUÍ, entrevistamos a dos de ellos: a María Pe Pereira y Sebastià Xambó. Además ha contado con la participación de este blog, recomendando dos libros que puedes descargar desde Vasos Comunicantes: El hombre que calculaba y 100 preguntas y 100 respuestas sobre astronomía


María Pe Pereira a los 17 años ganó la medalla de oro en la Olimpiada Matemática Española, con 30 años resolvió junto a Javier Fernández de Bobadilla una conjetura planteada por el célebre matemático John Nash y a los 32 recibió el Premio José Luis Rubio de la Real Sociedad Matemática Española. Actualmente da clase y se dedica a la investigación en la Facultad de Ciencias Matemáticas de la Universidad Complutense de Madrid.

Sebastià Xambó. Es Profesor emérito de la Universitat Politècnica de Catalunya. Experto en geometría algebraica. Confiesa su pasión por las matemáticas desde que estudió secundaria, gracias a la influencia de maestros y profesores, pero sobre todo a que era “era una disciplina que ayudaba a comprender y que permitía resolver problemas”. Tiene numerosas distinciones, pero ante todo es un entusiasta de las matemáticas y su difusión, especialmente entre los más jóvenes. Ha impulsado el sitio web https://www.arbolmat.com/  donde se recogen los perfiles científicos de personalidades latinoamericanos, incluyendo España y Portugal, destacadas por su relevancia investigadora en Matemáticas.


FUENTE: EUREKA

Geometría espectral

Spectral Geometry of Partial Differential Operators - Búsqueda de Google

Ruzhansky, Michael ; Sadybekov, Makhmud ; Suragan, Durvudkhan. Spectral Geometry of Partial Differential Operators. Taylor & Francis, 2020. 378  p. ISBN: 9781138360716

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Este libro es un intento de recopilar una serie de propiedades que surgen en investigaciones recientes describiendo ciertas características de la teoría de las ecuaciones diferenciales parciales que pueden ser atribuidas al campo de la geometría espectral. Siendo ambos campos inmensos, nuestro intento no es para dar una cuenta completa de toda la teoría, pero para proporcionar al lector una rápida introducción a varios de sus aspectos importantes.

El tema de la geometría espectral es una amplia área de investigación y como tal, permite comparar la información espectral asociada a varios objetos en diferentes dominios con propiedades geométricas seleccionadas.