Emmy Noether Amalie, la científica que asombró a Einstein.

Emmy Noether (1882-1935) fue una de las grandes mentes matemáticas del siglo XX. Cuando quiso estudiar matemáticas, no estaba permitido que las mujeres se inscribieran en la universidad. Su padre, el matemático Max Noether, enseñaba en la Universidad de Erlangen, en Baviera, institución que afirmaba que permitir que las mujeres se registraran “derrocaría todo el orden académico”. Sin embargo, dos años después Noether fue una de las dos estudiantes femeninas a la que se le permitió inscribirse en esa universidad, pero no con los mismos derechos que el resto de estudiantes: sólo se le permitía entrar como oyente a las clases y eso si los profesores daban la autorización expresa de que podía entrar al aula. “Pero eso fue suficiente para que pasara el examen de graduación en 1903 y para que calificara a un título equivalente al de una licenciatura”, indica Michael Lucibella, autor de la biografía sobre Noether publicada por APS (American Physical Society).

Pasó el año siguiente estudiando en la Universidad de Göttingen, pero regresó a Erlangen cuando la universidad finalmente revocó las restricciones a las mujeres estudiantes, completando su disertación sobre invariantes para formas bicuadráticas ternarias en 1907. Pese a que la universidad dio un paso adelante para permitir a mujeres estudiantes, continuaba excluyendo a las mujeres de tener posiciones en la facultad. “Noether enseñó en Erlangen durante siete años sin salario, en algunas ocasiones reemplazando a su padre”, indica Lucibella.

El matemático alemán David Hilbert trató de incorporarla al departamento de matemáticas de la Universidad de Göttingen en 1915, pero otros profesores se opusieron por ser mujer. Una de las razones por las que Hilbert presionó para llevar a Noether a Gotinga fue la esperanza de que su experiencia en la teoría invariante (números que permanecen constantes aunque se manipulan de diferentes maneras) pudiera aplicarse a la incipiente teoría de la relatividad general de Albert Einstein, que parecía violar la conservación de la energía.

Noether no defraudó, ideando un teorema que se ha convertido en una herramienta fundamental de la física teórica moderna al demostrar la relación entre simetrías y cargas conservadas. Una de sus consecuencias es que si un sistema físico se comporta igual independientemente de su orientación espacial, el momento angular del sistema se conserva. El teorema de Noether se aplica a cualquier sistema con simetría continua. 

Cuando Einstein leyó el trabajo de Noether sobre invariantes, le escribió a Hilbert: “Me impresiona que tales cosas puedan entenderse de una manera tan general. La vieja guardia de Gotinga debería aprender algunas lecciones de la señorita Noether. Ella parece saber lo que hace “.

Einstein escribió al New York Times después de su muerte, declarando que “la señorita Noether fue el genio matemático creativo más importante que haya existido desde que comenzó la educación superior para las mujeres”. Está considerada la madre del algebra moderna con sus teorías sobre anillos y cuerpos, pero su aporte a la ciencia no se restringe a las matemáticas.

El teorema de Noether

Teorema de Noether. A toda transformación continua de las coordenadas o/y los campos que deje invariante la acción en un volumen cuadridimensional le corresponde una corriente conservada jμ en la evolución que cumple Dμjμ=0.

Nos "aprovechamos" del blog amigo de Guillermo Sánchez León (director del programa Eureka USAL, con quien nuestro blog colabora de vez en cuando) para ilustrarnos sobre este Teorema en ESTE POST.
Lo llaman el teorema más bello del mundo, pero no es solo que sea hermoso por las cuestiones de la simetría sino que es de una potencia matemática tremenda y de una potencia de cálculo fantástica.

 El Teorema de Noether, determina la relación entre leyes de conservación físicas y los invariantes del sistema, en las que se basa toda la física teórica del último siglo.

Las invarianzas en Física son fundamentales, pero ¿Qué es una invarianza?: Imaginemos un tablero de ajedrez. El movimiento de las piezas es independiente de en qué posición coloquemos el tablero sobre la mesa. Por ejemplo: Un alfil que esté en una casilla negra se moverá en diagonal por las casillas negras y eso es independiente de la posición del tablero. Podemos decir que el movimiento de las piezas es invariante respecto de la posición del tablero. De la misma manera, una manzana que dejemos caer a altura de 10 m seguirá la misma ley de atracción gravitatoria independientemente de que lo hagamos en Madrid o en Nueva York.  El teorema de Noether utiliza el concepto de invarianza para explicar por qué existen leyes de conservación y magnitudes físicas que no cambian a lo largo de la evolución temporal de un sistema físico. 

Iteración de polinomios y funciones racionales.

Poirier Schmitz, Alfredo. Iteración de polinomios y funciones racionales. Pontificia Universidad Católica del Perú. Fondo Editorial, 2016. ISBN 9786123171544.

TEXTO COMPLETO

Texto introductorio sobre la iteración de funciones racionales, ideas geométricas, y el lenguaje de los sistemas dinámicos

  1. Prerrequisitos mínimos del análisis complejo
  2. Funciones propias y espacios de recubrimiento: Un curso relámpago en espacios de recubrimiento
  3. Familias normales : Una prueba del teorema de Montel
  4. Preliminares de sistemas dinámicos: El cambio de variables como herramienta de los sistemas dinámicos
  5. Conceptos básicos de dinámica polinomial
  6. Iteración de funciones racionales
  7. Puntos periódicos
  8. El método de Newton
  9. Una primera ojeada al conjunto de Julia
  10. Discos de Siegel y puntos de Cremer
  11. Orbitas atractoras
  12. Cuencas parabólicas
  13. Densidad de puntos periódicos en el conjunto de Julia
  14. Productos de Blaschke
  15. Componentes periódicas simplemente conexas
  16. Componentes críticas periódicas
  17. La estructura del conjunto de Fatou
  18. El conjunto de Mandelbrot

La Galaxia Musical : el Teorema de Thales

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Teorema de Thales Les Luthiers - Matemáticas en tu mundo
Hace unos días, el cómico Marcos Mundstock, miembro de Les Luthiers, falleció a los 77 años en Buenos Aires. Mundstock era el narrador de muchos de los sketches del grupo y uno de sus miembros más reconocibles. Este es nuestro homenaje “científico”. 

Esto es lo que dice el propio autor sobre la historia de esta obra: “Tenía 19 años y cursaba mi segundo año de Facultad, cuando una vez, frente a un intrincado enunciado de Análisis Matemático (esos descubiertos por sabios enemigos), pensé que lo recordaría con más facilidad si le acoplaba una melodía cantable. Así lo hice… ¡y resultó! Claro que aquella sólo fue una pequeña trampita mnemotécnica. Pensé entonces si no podía ponerle música a todo un problema matemático. A todo un teorema, digamos. Entonces fui a la biblioteca, desempolvé el Repetto, Linskens y Fesquet, ubiqué el Teorema de Thales, y le puse música. Al día siguiente les canté mi teorema a un grupito de locos lindos del coro de Ingeniería. Me lo festejaron. Así entré en Les Luthiers”. [VIDEO]

 “Johann Sebastian Mastropiero dedicó su divertimento matemático, op. 48, el “Teorema de Thales”, a la condesa Shortshot, con quien viviera un apasionado romance varias veces, en una carta en la que le dice: “Condesa, nuestro amor se rige por el Teorema de Thales: cuando estamos horizontales y paralelos, las transversales de la pasión nos atraviesan y nuestros segmentos correspondientes resultan maravillosamente proporcionales”. 

Tales de Mileto (siglo VI a. C.) : considerado como uno de los siete sabios de Grecia, destacó en las áreas del comercio, filosofía, astronomía y matemáticas. Sus reflexiones trataban sobre la naturaleza y el origen del mundo físico, preguntas como ¿De dónde venían todas las cosas? ¿De qué estaban hechas? ¿Existía algo que pudiera reducir a unidad el variado espectáculo del cosmos?, representaban el esfuerzo por ir más allá de las apariencias hasta descubrir la verdadera naturaleza de las cosas y su primer origen; lo que los griegos le llamaron el arjé. Siempre trataba de que sus respuestas se apoyaran en la razón y fundamentarlas.

Existen dos teoremas relacionados con la geometría clásica que reciben el nombre de teorema de Tales

PRIMER TEOREMA DE TALES : Si dos rectas cualesquiera se cortan por varias rectas paralelas, los segmentos determinados en una de las rectas son proporcionales a los segmentos correspondientes en la otra.

\displaystyle \frac{AB}{A'B'}= \frac{BC}{B'C'}= \frac{AC}{A'C'}

Teorema de Tales de Mileto | Superprof

 

SEGUNDO TEOREMA DE TALES: Dado un triángulo ABC, si se traza un segmento paralelo, B'C', a uno de los lados del triangulo, se obtiene otro triángulo AB'C', cuyos lados son proporcionales a los del triángulo ABC.

\displaystyle \frac{AB}{AB'}= \frac{AC}{AC'}= \frac{BC}{BC'}Teorema de Tales de Mileto | Superprof

LA HISTORIA DETRAS DEL TEOREMA

Se dice que cuando Thales viajó a Egipto, para aprender matemáticas, inventó un procedimiento para calcular la altura de las pirámide Keops por semejanza, midiendo la sombra de esta y la de su bastón. La proporcionalidad entre la altura de la pirámide y la del bastón, hacían posible calcular la altura deseada. Para hacer este cálculo, supuso que los rayos del sol incidían paralelamente en la tierra, entonces la sombra que generaba la pirámide y su altura  forman un triángulo rectángulo, y la sombra del bastón con su altura otro. Estos dos triángulos rectángulos son semejantes, por lo tanto pudo establecer la siguiente proporción para obtener la altura.

La Pirámide de Keops y el Teorema de Tales – MatematicasCercanas

La sombra es la región donde no dan los rayos del sol. Se supone que los rayos que inciden en la pirámide y en el bastón son paralelos (consecuencia de la gran distancia que separa al Sol de la Tierra) y el bastón está clavado perpendicularmente al suelo.

De esta forma, los ángulos de los dos triángulos que observamos en la figura son iguales entre sí y, por tanto, dichos triángulos son semejantes. En dos triángulos semejantes, se cumple que sus lados homólogos son proporcionales.

El método que utilizó Tales de Mileto, el Teorema de Tales, tiene una enorme utilidad puesto que, entre otras muchas cosas, lo podemos emplear para averiguar la altura de cualquier objeto que sea grande sin necesidad de medirlo directamente.


Fuente: matematicascercanas.com

 

¿Qué es la matemática? El teorema de Gödel y sus alrededores

What is Mathematics: Gödel's Theorem and Around

Karlis Podnieks. What is Mathematics: Gödel’s Theorem and Around. OpenLibra. 2013. 238 p.

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Karlis Podnieks define las teorías matemáticas como sistemas estables y ¿autónomos? de razonamiento, y las teorías formales como modelos matemáticos de tales sistemas. Trabajando con modelos estables y autónomos, los matemáticos han desarrollado su habilidad para sacar el máximo de conclusiones a partir de un mínimo de premisas. Por eso la modelación matemática es tan eficiente.

Para el autor del libro, los resultados de Goedel son la evidencia crucial de que los sistemas de razonamiento estables y autocontenidos no pueden ser perfectos (sólo porque son estables y autocontenidos). Tales sistemas no son universales (es decir, no pueden expresar la noción de números naturales: 0, 1, 2, 3, 4, …), o son universales, pero entonces corren inevitablemente hacia las contradicciones o hacia problemas insolubles.

Para los humanos, el pensamiento platónico es la mejor manera de trabajar con estructuras imaginadas. (Otra versión de esta tesis fue propuesta en 1991 por Keith Devlin en la p. 67 de su obra Logic and Information). Así, una posición filosófica correcta de un matemático debería ser: a) Platonismo – en días laborables – cuando estoy haciendo matemáticas (de lo contrario, mi “hacer” será ineficiente), b) Formalismo – en fines de semana – cuando estoy pensando “acerca” de las matemáticas (de lo contrario, terminaré en el misticismo).


En lógica matemática, los teoremas de la incompletitud de Gödel son dos célebres teoremas demostrados por Kurt Gödel en 1930. Simplificando, el primer teorema afirma:

En cualquier formalización consistente de las matemáticas que sea lo bastante fuerte para definir el concepto de números naturales, se puede construir una afirmación que ni se puede demostrar ni se puede refutar dentro de ese sistema.

Este teorema es uno de los más famosos fuera de las matemáticas, y uno de los peor comprendidos. Es un teorema en lógica formal y, como tal, fácil de malinterpretar. Hay multitud de afirmaciones que parecen similares, pero que en realidad no son ciertas.

El segundo teorema de la incompletud de Gödel, que se demuestra formalizando parte de la prueba del primer teorema dentro del propio sistema, afirma:

Ningún sistema consistente se puede usar para demostrarse a sí mismo.

Este resultado fue devastador para la aproximación filosófica a las matemáticas conocida como el programa de formalización Hilbert. David Hilbert propuso que la consistencia de los sistemas más complejos, tales como el análisis real, se podía probar en términos de sistemas más sencillos. Finalmente, la consistencia de todas las matemáticas se podría reducir a la aritmética básica. El segundo teorema de la incompletud de Gödel demuestra que la aritmética básica no se puede usar para demostrar su propia consistencia, y por lo tanto tampoco puede demostrar la consistencia de nada más fuerte. [+INFO]

Galaxia musical: el último teorema de Fermat

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KINETO TRANSFORM - Buscar con Google

 

La banda de rock metal KINETO tiene una canción titulada “Theorem”que describe el último Theorem de Fermat. [VIDEO]

Kineto es un grupo californiano que reúne las ideas individuales de cuatro músicos para crear un sonido oscuro e impredecible. El grupo está formado por Rick Audet, [guitarra], Noah Appleton [batería], quien proporciona la base con sus ritmos técnicos, y Forest Huggins, quien expresa inteligentemente su rareza ecléctica en el micrófono vocal. Completando la banda está el miembro fundador Dan Menapace, quien mezcla líneas de bajo intensas y trepidantes con samplers modernos, lo que añade el color definitivo a la paleta de Kineto.


TEOREMA DE FERMAT

Leyendo el libro Arithmetica de Diofanto, el matemático francés Pierre de Fermat se planteó si, al igual que la ecuación del teorema de Pitágoras, x^2 + y^2 = z^2, se cumplía para ternas de números enteros positivos, como (3, 4, 5), (5, 12, 13) o (8, 15, 17), las conocidas como ternas pitagóricas, también sería posible encontrar ternas de números enteros positivos que cumplieran la ecuación de Pitágoras, pero con potencias cúbicas, x^3 + y^3 = z^3, e incluso para potencias mayores que tres, x^n + y^n = z^n, con n\geq 3 . Fermat había escrito en uno de los márgenes del libro de Diofanto la siguiente frase (aunque en latín) Tengo una prueba verdaderamente maravillosa para esta afirmación, pero el margen es demasiado estrecho para contenerla. Sin embargo, no dejó escrita en ningún lugar, o no se encontró nunca, esa demostración.

A pesar de la afirmación de Fermat, y de que infinidad de matemáticos de todo el mundo intentaron desde entonces demostrar que no existían soluciones, con números enteros positivos, de la ecuación x^n + y^n = z^n, para n\geq 3, no fue posible demostrar completamente el conocido como “último teorema de Fermat” hasta que Andrew Wiles mostró su demostración al mundo en 1995, eso sí, con unas técnicas muy sofisticadas que no existían en la época de Fermat, 350 años antes.

Pero lo curioso del último teorema de Fermat, es que siendo un resultado de la matemática teórica, de esos que parecen un juego matemático sin ningún tipo de interés para la sociedad, ni aplicación a la vida real, terminó fascinando a la sociedad y calando en el arte y la cultura, principalmente tras la demostración de la conjetura en 1995.

Detrás del teorema matemático, y su demostración, se encontraba una historia fascinante, romántica y cautivadora, con los ingredientes necesarios para ser una buena historia: el resultado está escrito en el margen de un libro, su autor no es matemático de profesión sino jurista, la prueba mencionada en el margen no aparece, los grandes matemáticos fracasan uno tras otro en su intento de demostrarlo, un suicidio frustrado por la pasión puesta en el reto matemático, el teorema de indecibilidad de Gödel planea dudas sobre la existencia de una demostración, miles de aficionados tratan a su vez de resolver lo que los profesionales no han logrado, y cuando al fin surge un matemático prodigioso que anuncia la resolución, el propio Wiles, aparece un error en la prueba que tardará un año en ser corregido. Todos estos elementos, y algunos más, han conseguido fascinar a muchas personas. Esta era una historia con una gran fuerza narrativa y la literatura lo vio claro, incorporándola a sus páginas.

Como se decía en la novela en Londres después de la medianoche (Seix Barral, 2014), del escritor mexicano Augusto Cruz, “imposible no sentirse fascinado por la historia del último teorema de Fermat”.

  • En La chica que soñaba con una cerilla y un bidón de gasolina, del escritor sueco Stieg Larsson, aparecían algunas referencias a un resultado de la matemática teórica, exactamente de la teoría de números, el último teorema de Fermat. De hecho, su protagonista Lisbeth Salander se pasaba toda la novela intentando probar dicho teorema, consiguiéndolo justo en las últimas páginas del libro.

El diablo y Simon Flagg, una lectura ligera para el verano — Cuaderno de Cultura Científica

  • Una suma, demostrada imposible por el teorema, aparece en un episodio de Los Simpsons, “Treehouse of Horror VI”. En el mundo tridimensional en Homer ^ 3 , la ecuación 1782 ^ 12 + 1841 ^ 12 = 1922 ^ El 12 es visible, justo cuando la dimensión comienza a colapsar. La broma es que la duodécima raíz de la suma se evalúa hasta 1922 debido a errores de redondeo cuando se ingresa en la mayoría de las calculadoras de mano; observe que el lado izquierdo es impar, mientras que 1922 ^ 12 es igual, por lo que la igualdad no puede mantenerse. Los valores coinciden con 9 de 40 dígitos decimales. Treehouse of Horror VI simpson - Buscar con Google

Un segundo ‘contraejemplo’ apareció en un episodio posterior, “El Mago de Evergreen Terrace” : 3987 ^ 12 + 4365 ^ 12 = 4472 ^ 12. Estos aceptan 10 de los 44 dígitos decimales, pero observamos que las reglas de divisibilidad simples muestran que 3987 y 4365 son divisibles entre 9, de modo que también se suma una suma de sus poderes. Una regla similar revela que 4472 no es divisible por 3, por lo que tampoco puede mantenerse.

  • En el relato de Arthur Porges, El diablo y Simon Flagg (1954), el matemático Simon Flagg reta al diablo a que le conteste a una pregunta difícil en menos de 24 horas, si lo hace se puede quedar con su alma, si no le dará 100 mil dólares al matemático. Y la pregunta no es otra que “¿Es cierto el último teorema de Fermat?”. Pasado el tiempo, el diablo le contesta a Simon, “Tú ganas, Simón —dijo casi en un susurro, mirándolo con un respeto absoluto—. Ni siquiera yo puedo aprender en tan poco tiempo las matemáticas requeridas para un problema tan difícil. Cuanto más indago sobre él, más difícil se torna”. Y para enfatizar dicha dificultad añade “¿Sabes —confió el diablo— que ni siquiera los mejores matemáticos de otros planetas, todos mucho más avanzados que el tuyo, lo han resuelto? Vamos, hay un tipo en Saturno semejante a una seta con zancos que resuelve mentalmente ecuaciones diferenciales en derivadas parciales; y hasta él ha desistido”. A pesar de haber perdido la apuesta, el diablo finalmente se queda enganchado con este problema matemático y continúa intentando resolverlo. 

Simon Flagg

  • La ecuación de Fermat también apareció en la película Bedazzled [Al diablo con el diablo en España] con Elizabeth Hurley y Brendan Fraser.  Hurley interpretó al diablo que, en una de sus muchas formas, apareció como maestro de escuela. En esta escena en particular, la pizarra detrás de ella dice: “La tarea de esta noche: Probar a ^ n + b ^ n = c ^ n, resuelve para n> 2 “

Matemáticas y Cine - Abel Martín - Marta Martín Sierra - Al diablo con el diablo (Harold Ramis, 2000)


LIBROS PARA DESCARGAR: 

  • Simon Singh. El enigma de Fermat. Trad. David Galadí y Jordi Gutiérrez.
    DESCARGAR PDF
  • José William Porras Ferreira. Último teorema de Fermat: una demostración sencilla. Cartagena, Colombia. 2011
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  • Paulo Ribenboim. 13 Lectures on Fermat’s Last Theorem. Springer. 1979
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